5. Schlusswort

Zum Abschluss wollen wir die von uns behandelten Integrationsverfahren bewerten: Welches Verfahren liefert die genauesten Ergebnisse und welches ist am einfachsten anzuwenden?

Geht man von der Genauigkeit aus, so liefert die Keplersche Fassregel bei ganzrationalen Funktionen höchstens 3. Grades exakte Integrale. Aufgrund der Tatsache, dass man bei die­sem Verfahren sehr schnell und einfach zu einem genauen Ergebnis kommt, kann man die Keplersche Fassregel auch zur Überprüfung von anderen Integrationsverfahren verwenden.

Will man jetzt Funktionen über 3. Grades integrieren, so bietet sich die Simpsonische Regel an, da sie nicht wie die Keplersche Fassregel nur mit einer, sondern mit mehreren Parabeln rechnet. Das gleiche gilt auch für gebrochen-rationale Funktionen. Die Simpsonische Regel liefert in diesem Fall sogar viel genauere Integrale als die Keplersche Fassregel.

Dies sind die beiden genauesten Integrationsverfahren. Die anderen drei Integrationsverfahren sind zum Teil sehr ungenau und es ist auch sehr aufwendig, Integrale mit diesen Verfahren zu berechnen. Dies liegt daran, dass die Keplersche Fassregel und die Simpsonische Regel mit Parabelbögen und nicht mit Gradenstücken wie Rechtecken oder Trapezen rechnet.

Am ungenauesten ist hier das Rechteckverfahren, während die Trapezregel mit dem gleichen Aufwand viel genauer ist als das Rechteckverfahren.

Zusammenfassung:

Keplersche Fassregel:

• Überprüfung von anderen Integrationsverfahren
• exakte Integrale bei ganzrationalen Funktionen höchstens 3. Grades
• Flächenberechnung mit einem Parabelstück
• die Herleitung ist auch durch die Simpsonische Regel möglich (n=2)

Simpsonische Regel:

• mehrfache Anwendung der Keplerschen Fassregel
• sehr genaue Integrale auch bei gebrochen-rationalen Funktionen
• Flächenberechnung durch mehrere Parabelstücke
• die Herleitung ist auch durch den Mittelwert von Trapez- und Mittentangentenregel möglich

Trapezverfahren:

• Flächenberechnung durch Verwendung von mehreren Trapezen
• geringe Abweichung vom genauen Integral
• wird zur Herleitung der Simpsonischen Regel verwendet

Mittentangentenregel:

• Flächenberechnung ähnlich wie beim Trapezverfahren
• größere Abweichung vom genauen Integral als bei dem Trapezverfahren
• wird zur Herleitung der Simpsonischen Regel verwendet

Rechteckverfahren:

• sehr ungenaue Flächenberechnung durch mehrere Rechteckstücke
• Flächenberechnung entweder durch Ober- oder Untersummenbildung